Hvad Er Symmetri?

{h1}

I geometri udviser en genstand symmetri, hvis den ser det samme ud efter en transformation, såsom refleksion eller rotation. Symmetri er vigtig inden for kunst, matematik, biologi og kemi.

I geometri udviser en genstand symmetri, hvis den ser det samme ud efter en transformation, såsom refleksion eller rotation. Symmetri er det underliggende matematiske princip bag alle mønstre og er vigtigt inden for kunst (anvendt i arkitektur, keramik, quiltning og tæppefremstilling), matematik (relateret til geometri, gruppeteori og lineær algebra), biologi (i former af organismer), kemi ( i former af molekyler og krystalstrukturer) og fysik (hvor symmetrier svarer til konserverede mængder). Ordet "symmetri" er et Latin-derivat fra det 16. århundrede fra de græske ord for "sammen" (syn-) og "mål" (Metron).

Typer af symmetri

Reflekterende

I almindelighed henviser symmetri oftest til spejl eller reflekterende symmetri; det vil sige, at en linje (i 2-D) eller et plan (i 3-D) kan trækkes gennem en genstand således at de to halvdele er spejlbilleder af hinanden. En ensartet trekant og et menneskeligt ansigt er eksempler. Matematisk siges et objekt, der udviser spejlsymmetri, at være "invariant under refleksion", hvilket betyder at afspejle objektet på en bestemt måde ikke ændrer dets udseende.

En enslig trekant og en sommerfugl er eksempler på genstande, der udviser reflekterende symmetri. Objekter i 2-D har en symmetrilinie; objekter i 3-D har et symmetriplan. De er uforanderlige under overvejelse.

En enslig trekant og en sommerfugl er eksempler på genstande, der udviser reflekterende symmetri. Objekter i 2-D har en symmetrilinie; objekter i 3-D har et symmetriplan. De er uforanderlige under overvejelse.

Kredit: Robert J. Coolman Lightspring Shutterstock

I biologi betegnes reflekterende symmetri ofte som bilateral symmetri, som findes i pattedyr, reptiler, fugle og fisk.

Roterende

En anden form for symmetri, der almindeligvis findes i biologi, er radial symmetri. Det findes i blomster og mange havdyr, såsom havanemoner, havsstjerner og vandmænd. Matematisk beskrives sådanne objekter som udstilling roterende symmetri, for at være "invariant under rotation". Sådanne objekter har et punkt (i 2-D) eller en akse (i 3-D), om hvilken en genstand kan drejes en vis mængde og forbliver uændret.

Et yin-yang-symbol og et pinwheel er eksempler på objekter, der udviser rotationssymmetri. Objekter i 2-D har et symmetricenter; objekter i 3-D har en symmetriakse. De er uforanderlige under rotation.

Et yin-yang-symbol og et pinwheel er eksempler på objekter, der udviser rotationssymmetri. Objekter i 2-D har et symmetricenter; objekter i 3-D har en symmetriakse. De er uforanderlige under rotation.

Kredit: Svitlana Amelina Jessmine Shutterstock

translational

Hvis man forestiller sig at strække sig til uendelig i alle retninger, kan et 2-D eller 3-D mønster udvise translationel symmetri, for at være "invariant under translation." Alle tessellationer, mange jungle gymnastik og de fleste mønstre fundet på tæpper og tapet udviser translationssymmetri.

Tapet design og jungle gym er eksempler på mønstre, der udviser translationssymmetri. Hvis de udvides til uendelig i alle retninger, er de uforanderlige under oversættelse.

Tapet design og jungle gym er eksempler på mønstre, der udviser translationssymmetri. Hvis de udvides til uendelig i alle retninger, er de uforanderlige under oversættelse.

Kredit: Tiax KPG_Payless Shutterstock

Andre former for symmetri

Mens der er eksempler på objekter, der udviser mere end en type symmetri (for eksempel en sekskantet stjerne udviser seks linjer af refleksion og et punkt med 6 gange rotation), er der nogle objekter og mønstre, der kun er invariant under to transformationer færdig på samme tid.

Forkert rotation = Refleksion + Rotation

En femkantet antipris med retningskanter er uforvarende under ukorrekt rotation (i eksemplet ovenfor, rotation med en tiendedel af en cirkel og reflekteret over et vandret plan).

Glide Reflection = Oversættelse + Refleksion

Et fodaftryk mønster som ovenstående eksempel, hvis udvidet til uendelig i begge retninger, er uændret under glide refleksion (en oversættelse kombineret med en refleksion).

Skrue Rotation = Oversættelse + Rotation

En helix fremstillet af tetraederer, hvis den udvides til uendelig i begge retninger, er uforvarende under skruetrydning (i dette eksempel en oversættelse kombineret med en rotation på 131,8 grader).

Kategorisering af objekter og mønstre

Matematikere og krystallografer kategoriserer et objekts eller mønsters symmetri i overensstemmelse med de mange måder, hvorpå de kan transformeres og forblive uændrede. En 2-D- eller 3-D-objekt tildeles en "punktgruppe" for at angive alle måder, hvorpå den kan forblive uændret under refleksion og rotation (og i 3-D, ukorrekt rotation). Når du bruger en genstand som mønster motiv, er det praktisk at tildele det til en af ​​de krystallografiske punktgrupper: i 2-D er der 10 af disse (vist nedenfor); i 3-D er der 32.

De ti krystallografiske punktgrupper i 2-D.

De ti krystallografiske punktgrupper i 2-D.

Kredit: Robert J. Coolman

I almindelig notation kaldes Schoenflies notation efter Arthur Moritz Schoenflies, en tysk matematiker:

  • "C" står for "cyklisk". Disse objekter har rotationssymmetri, men ingen reflekterende symmetri. Tallet angiver, hvilken rotationssymmetri de har, så symbolet mærket C2 har to gange symmetri, for eksempel. Alle cykliske former har et spejlbillede, der "drejer den anden vej."
  • "D" står for "dihedral". Disse objekter har både reflekterende og rotationssymmetri. Nummeret angiver, hvilken fold rotationssymmetri de har, såvel som antallet af symmetripunkter.

gitre

Et gitter er et gentagende mønster af punkter i rummet, hvor en genstand kan gentages (eller mere præcist oversættes, glides reflekteret eller skrues roteret). I 1-D er der kun et gitter, i 2-D er der fem, og i 3-D er der 14.

For at lave et mønster gentages en 2-D-genstand (som vil have en af ​​de 10 krystallografiske punktgrupper, der er tildelt den) gentaget langs et 1-D eller 2-D gitter. En 2-D genstand gentaget langs et 1-D gitter udgør en af ​​syv frise-grupper. En 2-D genstand gentaget langs en 2-D gitter udgør en af ​​17 tapetgrupper.

3-D mønstre er mere komplicerede og findes sjældent uden for krystallografi. De forskellige 3-D-punktgrupper gentaget langs de forskellige 3-D gittere danner 230 varianter af rumgruppen. 3-D objekter kan også gentages langs 1-D eller 2-D gitter for at fremstille stanggrupper eller laggrupper.

Fraktaler

Også vigtig er invariance under en fjerde form for transformation: skalering. Koncentriske cirkler med geometrisk fremskridende diameter er uensartede under skalering. Når en genstand er invariant under en specifik kombination af oversættelse, refleksion, rotation og skalering, producerer den en ny slags mønster kaldet en fraktal.

Koch-kurven, hvis den udvides til uendelig, både indad og udad, er uforvarende under en bestemt procedure med oversættelse, rotation og skalering.

Koch-kurven, hvis den udvides til uendelig, både indad og udad, er uforvarende under en bestemt procedure med oversættelse, rotation og skalering.

Kredit: Robert J. Coolman

Yderligere ressourcer

  • Symmetri: Et open access journal, der dækker forskning om symmetri fænomener, hvor de forekommer i matematiske og videnskabelige studier.
  • Otterbein University: Symmetry Resources - for at hjælpe eleverne lære begreber molekylær symmetri og at hjælpe fakultetet underviser begreber molekylær symmetri.
  • Nanyang Technological University i Singapore tilbyder et online kursus, "Skønhed, Form & Funktion: En Exploration Of Symmetry."


Video Supplement: Geometri: Symmetri.




DA.WordsSideKick.com
All Rights Reserved!
Reproduktion Af Materialer Tilladt Kun Prostanovkoy Aktivt Link Til Webstedet DA.WordsSideKick.com

© 2005–2019 DA.WordsSideKick.com