Hvordan Tessellations Arbejde

{h1}

Tessellationer består af en enkelt form gentaget over et todimensionelt plan uden huller. Lær om tessellationer på WordsSideKick.com.

Vi studerer matematik for sin skønhed, dets elegance og dets evne til at kodificere de mønstre, der er vævet ind i universets stof. Indenfor sine figurer og formler ser den sekulære opfattelse rækkefølge og de religiøse fange fjernelse af skabelsens sprog. Matematik opnår det sublime; nogle gange, som med tessellationer, stiger den til kunst.

Tessellations - Gapløse mosaikker af definerede figurer - tilhører en race af forhold, konstanter og mønstre, der gentager sig gennem arkitekturen, afslører sig under mikroskoper og udstråler fra hver honningkage og solsikke. Pluk fra ethvert antal ligninger i geometri, fysik, sandsynlighed og statistik, lige geomorfologi og kaosteori, og du finder pi (π) som en hjørnesten. Euler's nummer (e) reagerer sit hoved gentagne gange i calculus, beregninger af radioaktivt henfald, sammensatte renteformler og visse ulige tilfælde af sandsynlighed. Det gyldne forhold (φ) dannede grundlaget for kunst, design, arkitektur og musik længe før folk opdagede det også definerede naturlige arrangementer af blade og stilke, knogler, arterier og solsikker eller matchede urets cyklus af hjernebølger [kilder: Padovan, Weiss, Roopun]. Det bærer endda et forhold til et andet perennisk mønsterfavorit, Fibonacci-sekvensen, der producerer sin egen unikke flisebelægningsprogression.

Videnskab, natur og kunst bobler også over med tessellationer. Som π, e og φ omgiver vi eksempler på disse gentagende mønstre hver dag, fra dagligdagse fortove, baggrunde, puslespil og klinkegulve til den hollandske kunstner M.C. Escher, eller det betagende flisearbejde i det 14. århundrede mauriske befæstning, Alhambra, i Granada, Spanien. Faktisk stammer ordet "tessellation" fra tessella, den diminutive form af det latinske ord Tessera, en individuel, typisk firkantet flise i en mosaik. Tessera kan til gengæld stige fra det græske ord tessares, hvilket betyder fire.

Matematik, naturvidenskab og natur er afhængige af nyttige mønstre som disse, uanset deres betydning. Ud over den transcendente skønhed af en mosaik eller gravering finder tessellationer applikationer gennem matematik, astronomi, biologi, botanik, økologi, computergrafik, materialevidenskab og en række forskellige simuleringer, herunder vejsystemer.

I denne artikel vil vi vise dig, hvad disse matematiske mosaikker er, hvilken slags symmetri de kan besidde og hvilke særlige tessellationer matematikere og forskere holder i deres værktøjskasse med problemløsende tricks.

Lad os først se på, hvordan man bygger en tessellation.

Udformning, eller kan du gentage det venligst?

Tessellationer kører gamuten fra grundlæggende til boggling. De enkleste består af en enkelt form, der dækker et todimensionelt plan uden at forlade huller. Derefter er himlen grænsen fra komplekse mønstre af flere uregelmæssige former til tredimensionale faste stoffer, der passer sammen for at fylde rummet eller endda højere dimensioner.

Tre almindelige geometriske former tesselerer med sig selv: lige sidede trekanter, firkanter og sekskanter. Andre firesidede figurer gør også, herunder rektangler og rhomboider (diamanter). Ved udvidelse fliser ingen-sidige trekanter sømløst, hvis de placeres back-to-back, hvilket skaber parallelogrammer. Mærkeligt nok, sekskanter af enhver form tessellere hvis deres modsatte sider er ens. Derfor kan enhver firesidet form danne en gabeløs mosaik, hvis den placeres ryg-til-ryg, hvilket gør en sekskant.

Du kan også tessellere et fly ved at kombinere regelmæssige polygoner eller ved at blande regelmæssige og semiregulære polygoner i særlige arrangementer. Polygoner er todimensionale former bestående af linjesegmenter, såsom trekanter og rektangler. Regelmæssige polygoner er specielle tilfælde af polygoner, hvor alle sider og alle vinkler er ens. Equilaterale trekanter og kvadrater er gode eksempler på regelmæssige polygoner.

Alle tessellationer, endog velformede og komplekse som M.C. Escher's, begynder med en form, der gentager uden huller. Tricket er at ændre formen - sig en rhomboid - så den stadig passer tæt sammen. En simpel tilgang indebærer at skære en form ud af den ene side og indsætte den på en anden. Dette giver en form, der passer sammen med sig selv og stabler let. Jo flere sider du ændrer, jo mere interessant bliver mønsteret.

Hvis du føler dig mere eventyrlystne, skal du prøve at dræbe en bølget linje på den ene side og derefter kopiere den samme linje til den modsatte side. Denne fremgangsmåde kan kræve nogle tweaking for at få stykkerne til at låse korrekt. Hvis din polygon f.eks. Har et ulige antal sider, vil du måske dele den venstre side halvt og derefter tegne spejlbilledformer på hver side af splittet. Dette skaber en side, der indgriber med sig selv.

Prøv lykken med to eller flere former, der tessellerer. Du kan gøre dette geometrisk, eller blot fylde siden med enhver form, du kan lide, og så forestille dig et billede, der passer til det negative rum. En relateret metode indebærer at fylde en kendt tessellating form med mindre former. Der er endda fraktal tessellationer - mønstre af former, der passer godt sammen og er selvlignende på flere skalaer.

Bare rolig, hvis dine første resultater virker lidt uanstændige. Det tog Escher år at mestre disse gale mosaikker, og selv havde han parringer, der ikke altid gav mening.

Nu hvor vi har lagt grunden, lad os tage et kig på nogle af de specielle tessellationer, som forskere bruger til at løse vanskelige teoretiske og anvendte problemer.

M. C. Escher

Ingen tessellations talent udkæmper hollandsk grafiker M.C.Escher. En litograf, træskærer og graver, Escher blev interesseret i de sublime former efter at have besøgt Alhambra som ung mand [kilde: St. Andrews Universitet].

Selvom han ikke var den første til at flytte tessellationer fra geometriske former til organiske og fantastiske ting, etablerede Escher sig som sin førende ekspedient. Hans fantasifulde, blændende og ofte umulige kunstværker forbliver meget populære i dag.

Fliser universet: Special Tessellations

Denne Voronoi tessellation ser på fotonets tæthed i en bestemt region. Hver prikk i cellen repræsenterer en foton.

Denne Voronoi tessellation ser på fotonets tæthed i en bestemt region. Hver prikk i cellen repræsenterer en foton.

Som forskere udforskede tessellationer og definerede dem matematisk, identificerede de visse typer, der udmærker sig ved at løse vanskelige problemer. Et populært eksempel er Voronoi tessellation (VT) også kendt som Dirichlet tessellation eller Thiessen polygoner.

En VT er en tessellation baseret på et sæt punkter, som stjerner på et diagram. Hvert punkt er vedlagt en polygonal celle - en lukket form dannet af linjesegmenter - der omfatter hele området, der ligger tættere på dets definitionspunkt end til et andet punkt. Cellegrænser (eller polygonsegmenter) er ækvivalente med to punkter; knuder, hvor tre eller flere celler mødes, er ligeværdige med tre eller flere defineringspunkter. VT'er kan også tessellere højere dimensioner.

Det resulterende VT mønster ligner den slags honningkage, som en bi kan bygge efter en nektarbender hele natten. Men hvad disse kakede celler mangler i skønhed, gør de mere end i værdi.

Ligesom andre tessellationer, VTs dukker op gentagne gange i naturen. Det er nemt at se hvorfor: Et hvilket som helst fænomen, der involverer punktkilder, der vokser sammen i konstant takt, som lavsporer på en sten, vil producere en VT-lignende struktur. Samlinger af forbundne bobler danner tredimensionelle VT'er, en lighedforsker udnytter ved modellering af skum.

VT'er er en nyttig måde at visualisere og analysere datamønstre også. Næsten klyngede rumlige data vil skille sig ud på en VT som områder tætte med celler. Astronomer bruger denne kvalitet til at hjælpe dem med at identificere galakse-klynger.

Fordi en computerprocessor kan opbygge en VT på flugten fra punktkildedata og et sæt enkle instruktioner, bruger VT'er både hukommelse og processorkraft - vigtige kvaliteter til at generere banebrydende computergrafik eller til at simulere komplekse systemer. Ved at reducere de nødvendige beregninger åbner VT'erne døren til ellers umulig forskning, såsom proteinfoldning, cellulær modellering og vævsimulering.

En nær slægtning til VT, den Delaunay tessellation kan også prale af en række anvendelser. For at lave en Delaunay tessellation skal du starte med en VT og derefter tegne linjer mellem de celledefinerede prikker, således at hver ny linje krydser en delt linje af to Voronoi-polygoner. Det resulterende gitter af klumpede trekanter giver en praktisk struktur til forenkling af grafik og terræn.

Matematikere og statistikere bruger Delaunay-tessellationer til at besvare ellers uforlignelige spørgsmål, som f.eks. At løse en ligning for hvert punkt i rummet. I stedet for at forsøge denne uendelige beregning beregner de en løsning for hver Delaunay-celle.

I sin 27. januar 1921, adresse til det preussiske videnskabsakademi i Berlin, sagde Einstein: "For så vidt som matematikkens love henvender sig til virkeligheden, er de ikke sikre, og så vidt de er sikre på, henviser de ikke til til virkeligheden. " Det er klart, at tessellerede tilnærmelser mangler perfektion. Ikke desto mindre aktiverer de fremskridt ved at reducere ellers uhåndterlige problemer til en form, der kan håndteres af den nuværende beregningskraft. Mere end det minder de os om den underliggende skønhed og orden i kosmos.

Frygtelig symmetri

Alle todimensionale fly med gentagne mønstre falder ind i en af ​​17 "tapetgrupper", der beskriver deres symmetrityper (selvom ikke alle tessellationer er symmetriske) [kilde: Joyce]. De fire hovedkategorier omfatter:

  1. translational: Skyd flyet i en bestemt retning, og det forbliver uændret
  2. Roterende: Drej flyet med en vis vinkel, og det forbliver uændret
  3. Glide refleksion: Skyd flyet langs en vektor og reflektere det om den samme vektor, og den forbliver uændret
  4. Spejlsymmetri (simpel refleksion): Hold et spejl op til en del af flyet, og det forbliver uændret (et specielt tilfælde af glide refleksion)

Alhambraens berømte mosaikker har 13 af symmetrigrupperne. Egyptisk kunst anvendt 12 [kilder: Grünbaum].


Video Supplement: How to Create A Geometric Pattern - Illustrator Tutorial.




DA.WordsSideKick.com
All Rights Reserved!
Reproduktion Af Materialer Tilladt Kun Prostanovkoy Aktivt Link Til Webstedet DA.WordsSideKick.com

© 2005–2019 DA.WordsSideKick.com